Question

已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（-1，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可．
解答：解：（1）由题意，c=1
∵点（-1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的标准方程为；
（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立
当直线l的斜率为0时，A（，0），B（-，0），则=-，∴，∴m=①
当直线l的斜率不存在时，，，则•=-，∴
∴m=或m=②
由①②可得m=．
下面证明m=时，恒成立
当直线l的斜率为0时，结论成立；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线方程代入椭圆方程，整理可得（t²+2）y²+2ty-1=0，∴y₁+y₂=-，y₁y₂=-
∴=（x₁-，y₁）•（x₂-，y₂）=（ty₁-）（ty₁-）+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂-t（y₁+y₂）+=+=-
综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查存在性问题，解题的关键的先猜后证，有一定的难度．