Question

甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x(km/h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？

 

Answer 1

答案：
解析：

解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：y=b·. ∴y=s(ax+)(其中x∈(0,+∞). 即将此时的问题转化成：“函数y=s(ax+)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y取最小值？”下面讨论函数y=s(ax+)[x∈(0,+∞),a＞0,b＞0]在其定义域内的单调性。 设x1，x2∈(0,+∞)，且x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)=s[(ax1+)－(ax2+)] =s[a(x1－x2)+ ] = = ∵x1，x2＞0，且x1＜x2 ∴x1x2＞0，a(x1－x2)＜0 ∴当x1，x2∈(0,]时，x1x2＜，x1x2－＜0，∴f(x1)＞f(x2)， 当x1，x2∈[，+∞)时，x1x2＞，x1x2－＞0，∴f(x1)＜f(x2). 综上所述，我们看到函数y=s(ax+)(a＞0，b＞0)并不是整个区间（0，+∞）上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x=时，y取得最小值即ymin=2s.那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x=km/h的速度行驶。