Question

16．已知函数f（x）=（x²+ax-a）•e^1-x，其中a∈R．
（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；
（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再由导函数为0，解得即可；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）分类讨论，分别利用导数和函数的最值的关系以及充分不必要条件的定义即可证明．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=（x²+ax-a）•e^1-x，
得f′（x）=（2x+a）e^1-x-（x²+ax-a）•e^1-x=-[x²+（a-2）x-2a]•e^1-x=-（x+a）（x-2）•e^1-x，
令f′（x）=0，得x=2，或x=-a．
所以当a=-2时，函数f′（x）有且只有一个零点：x=2；
当a≠-2时，函数f′（x）有两个相异的零点：x=2，x=-a．
（Ⅱ）证明：①当a=-2时，f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
所以，函数f（x）无极值．
②当a＞-2时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

所以，a≥0时，f（x）的极小值为f（-a）=-ae^1+a≤0．
又x＞2时，x²+ax-a＞2²+2a-a=a+4＞0，
所以，当x＞2时，f（x）=）=（x²+ax-a）•e^1-x＞0恒成立．
所以，f（-a）=-ae^1+a为f（x）的最小值．
故a≥0是函数f（x）存在最小值的充分条件．
③当a=-5时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，5）	5	（5，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

因为当x＞5时，f（x）=（x²-5x+5）e^1-x＞0，
又f（2）=-e^-1＜0，
所以，当a=-5时，函数f（x）也存在最小值．
所以，a≥0不是函数f（x）存在最小值的必要条件．
综上，a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．

点评 本题考查了导数和函数的极值和最值的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．