Question

13．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，准线方程为x=2$\sqrt{2}$，左、右焦点分别为F₁，F₂
（1）求椭圆C的方程
（2）已知点P（${\sqrt{2}$，1）点M在线段PF₂上，且MF₁+MF₂=3，F₁M延长线交椭圆于点Q，求$\frac{{{S_{△MP{F_1}}}}}{{{S_{△MQ{F_2}}}}}$；
?（3）点A、B为椭圆C上动点，PA、PB斜率分别为k₁，k₂，当k₁k₂=-$\frac{1}{2}$时，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）由P$（\sqrt{2}，1）$，F₂$（\sqrt{2}，0）$，可设M$（\sqrt{2}，t）$（1＞t＞0），由MF₁+MF₂=3，可得t，解得M．把直线F₁M方程与椭圆方程联立得Q，可得PF₁∥BF₁，△MPF₁∽△MF₂Q．因此$\frac{{{S_{△MP{F_1}}}}}{{{S_{△MQ{F_2}}}}}$=$（\frac{PM}{{F}_{2}M}）^{2}$．
（3）设PA：$y-1={k_1}（x-\sqrt{2}）$，则PB：$y-1=-\frac{1}{{2{k_1}}}（x-\sqrt{2}）$，分别与椭圆方程联立可得x_A+x_B=0．又点A、B在椭圆C上，则O为线段AB中点，利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，联立解得：a=2，b=$\sqrt{2}$=c．
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）∵P$（\sqrt{2}，1）$，F₂$（\sqrt{2}，0）$，∴设M$（\sqrt{2}，t）$（1＞t＞0），
由MF₁+MF₂=3，可得$\sqrt{{{（2\sqrt{2}）}^2}+{t^2}}+t=3（0＜t＜1）$，解得$t=\frac{1}{6}$，
∴∴$M（\sqrt{2}，\frac{1}{6}）$．
则直线F₁M方程为：$y=\frac{1}{{12\sqrt{2}}}（x+\sqrt{2}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{{12\sqrt{2}}}（x+\sqrt{2}）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$且x＞0，得$Q（{\frac{{7\sqrt{2}}}{5}，\frac{1}{5}}）$，
∴${k_{P{F_1}}}={k_{Q{F_2}}}$，故PF₁∥BF₁，∴△MPF₁∽△MF₂Q．
∴$\frac{{{S_{△MP{F_1}}}}}{{{S_{△MQ{F_2}}}}}$=$（\frac{PM}{{F}_{2}M}）^{2}$=$（\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}}）^{2}$=25．
（3）设PA：$y-1={k_1}（x-\sqrt{2}）$，则PB：$y-1=-\frac{1}{{2{k_1}}}（x-\sqrt{2}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}（x-\sqrt{2}）+1}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，得${x_A}=\frac{{2\sqrt{2}k_1^2-4{k_1}-\sqrt{2}}}{2k_1^2+1}$，
同理${x_B}=\frac{{\sqrt{2}+4{k_1}-2\sqrt{2}k_1^2}}{2k_1^2+1}$，
∴x_A+x_B=0．
又点A、B在椭圆C上，则O为线段AB中点，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}）•（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}）=（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}）（\overrightarrow{PO}-\overrightarrow{OA}）={\overrightarrow{PO}^2}-{\overrightarrow{OA}^2}$，
∵点A在椭圆C上，∴${\overrightarrow{OA}^2}∈[{b^2}，{a^2}]$，∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}∈[-1，1]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质、平行线的性质、相似三角形的性质、斜率计算公式，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．