Question

如图，tanC=

1

2

，以线段AB为直径的圆交线段BC于H，以A，H为焦点且过C点的双曲线的离心率为（　　）

• A．

  5

  +2
• B．3
• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：由线段AB为直径的圆交线段BC于H，知∠AHB=90°，由tanC=

1

2

，知

AH

CH

=

1

2

，设AH=x，则CH=2x，AC=

5

x，所以A，H为焦点且过C点的双曲线中，2c=x，2a=（

5

-2）x，由此能求出e．

解答：解：∵线段AB为直径的圆交线段BC于H，
∴∠AHB=90°，
∴△AHC是直角三角形，且∠AHC=90°．
∵tanC=

1

2

，
∴

AH

CH

=

1

2

，
设AH=x，则CH=2x，AC=

5

x，
∴A，H为焦点且过C点的双曲线中，
2c=AH=x，
2a=CA-CH=（

5

-2）x，
∴e=

2c

2a

=

x

( 5  -2)x

=

5

+2．
故选A．

点评：本题考查双曲结的离心率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．