Question

12．已知数列{a_n}前n项和为S_n，a₁=-$\frac{2}{3}$，且S_n+$\frac{1}{Sn}$+2=a_n（n≥2）．
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄的值，猜想S_n的解析式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式代值计算即可，并猜想其结论，
（2）利用数学归纳法进行证明．

解答 解：（1）S₁=a₁=-$\frac{2}{3}$，S₂+$\frac{1}{{S}_{2}}$+2=S₂-（-$\frac{2}{3}$），解得S₂=-$\frac{3}{4}$，
S₃+$\frac{1}{{S}_{3}}$+2=S₃-S₂⇒S₃=-$\frac{4}{5}$，S₄+$\frac{1}{{S}_{4}}$+2=S₄-S₃⇒S₄=-$\frac{5}{6}$．
猜想：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$（n∈N₊）．
（2）证：①当n=1时，左边=S₁=a₁=-$\frac{2}{3}$，右边=-$\frac{1+1}{1+2}$=-$\frac{2}{3}$．
∵左边=右边，
∴原等式成立．
②当n=k时，假设S_k=-$\frac{k+1}{k+2}$成立，
由S_k+1+$\frac{1}{Sk+1}$+2=S_k+1-S_k得$\frac{1}{Sk+1}$=-S_k-2=$\frac{k+1}{k+2}$-2=$\frac{k+1-2k-4}{k+2}$=$\frac{-k-3}{k+2}$=-$\frac{k+3}{k+2}$，
∴S_k+1=-$\frac{k+2}{k+3}$=-$\frac{（k+1）+1}{（k+1）+2}$，
∴当n=k+1时，原等式也成立．
综合①②得对一切n∈N₊，S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$成立．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．