Question

7．已知圆O的半径为R（R为常数），它的内接三角形ABC满足2R（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．
（1）求角C；
（2）若c=$\sqrt{7}$，且△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理余弦定理即可得出．
（2）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可的．

解答 解：（1）∵2R（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，
由正弦定理得a=2Rsin A，b=2R sinB，c=2R sinC，
代入上式得a²-c²=ab-b²，即a²+b²-c²=ab，
由余弦定理得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$，
又C为△ABC的内角，∴$C=\frac{π}{3}$．
（2）${S_{△abc}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∵$C=\frac{π}{3}$，∴ab=6$cos\frac{π}{3}=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{{{（{a+b}）}^2}-2ab-7}}{2ab}=\frac{1}{2}$．
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为$5+\sqrt{7}$．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．