题目内容
17．过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的右顶点A作斜率为l的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点M，N，且|AM|=|MN|，则双曲线C的离心率是（ ）| A． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | $\frac{\sqrt{10}}{3}$ | D． | $\sqrt{10}$ |
分析 先由双曲线线方程可得A的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得B和C的横坐标，进而根据|AM|=|MN|求得b的值，进而根据c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$求得c，最后根据离心率公式答案可得．
解答 解：由题可知A（2，0），
所以直线l的方程为y=x-2．
两条渐近线方程为y=-$\frac{b}{2}$x或y=$\frac{b}{2}$x
联立y=x-2和y=-$\frac{b}{2}$x得M的横坐标为xM=$\frac{4}{2+b}$，
同理得N的横坐标为xN=$\frac{4}{2-b}$．
∵|AM|=|MN|，
∴M为AN中点，
有2xM=xA+xN，
即有2×$\frac{4}{2+b}$=2+$\frac{4}{2-b}$．
解得b=6或0（舍去0）．
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{4+36}$=2$\sqrt{10}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{10}}{2}$=$\sqrt{10}$．
故选：D．
点评 本题考题双曲线性质的综合运用，解题过程中要注意根与系数的关系的运用．
练习册系列答案
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6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的图象的最高点为（$\frac{3π}{8}$，$\sqrt{2}$），其图象的相邻两个对称中心之间的距离为$\frac{π}{2}$，则φ=（ ）
| A． | $-\frac{π}{3}$ | B． | $-\frac{π}{4}$ | C． | $-\frac{π}{6}$ | D． | $-\frac{π}{12}$ |
12．
三棱锥P-ABC中，PA=2，BC=3，PA⊥BC，如图所示，作与PA、BC都平行的截面，分别交棱PB、BC、AC、AB于点E、F、G、H，则截面EFGH的最大面积为（ ）
三棱锥P-ABC中，PA=2，BC=3，PA⊥BC，如图所示，作与PA、BC都平行的截面，分别交棱PB、BC、AC、AB于点E、F、G、H，则截面EFGH的最大面积为（ ）| A． | 3 | B． | 6 | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | $\frac{5}{2}$ |
2．下列说法正确的是（ ）
| A． | 如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行 | |
| B． | 两个平面相交于唯一的公共点 | |
| C． | 如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点 | |
| D． | 平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行 |