Question

15．研究函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$的性质，完成下面两个问题：
①将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为f（5）＜f（2）＜f（3）；；
②函数g（x）=${x}^{\frac{1}{x}}$（x＞0）的最大值为e${\;}^{\frac{1}{e}}$．

Answer 1

分析 ①利用导数判断在（0，e）递增，（e，+∞）递减得出f（3）＞f（5），运用作差判断f（2）-f（5），f（2）-f（3）即可得出大小．
②构造函数ln（g（x））=$\frac{1}{x}$lnx（x＞0），令h（x）=$\frac{1}{x}$lnx（x＞0），运用导数求解极大值，得出h（x）的极大值为h（e）=$\frac{1}{e}$lne=$\frac{1}{e}$，结合对数求解即可．

解答 解：①∵函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=0，x=e，
f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，＞0，x∈（0，e）
f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＜0，x∈（e，+∞）
∴在（0，e）递增，（e，+∞）递减
∴f（3）＞f（5），
∵f（2）-f（5）=$\frac{ln2}{2}$$-\frac{ln5}{5}$=$\frac{5ln2-2ln5}{10}$=$\frac{ln32-ln25}{10}$＞0
∴f（2）＞f（5）
∵f（2）-f（3）=$\frac{3ln2-2ln3}{6}$=$\frac{ln8-ln9}{6}$＜0
∴f（3）＞f（2）
故答案：f（5）＜f（2）＜f（3）；
②∵函数g（x）=${x}^{\frac{1}{x}}$（x＞0），
∴ln（g（x））=$\frac{1}{x}$lnx（x＞0）
令h（x）=$\frac{1}{x}$lnx（x＞0），
h′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（1-lnx）=0，x=e
h′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（1-lnx）＜0，x＞e
h′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（1-lnx）＞0，0＜x＜e
∴h（x）=$\frac{1}{x}$lnx（x＞0），
在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
h（x）的极大值为h（e）=$\frac{1}{e}$lne=$\frac{1}{e}$，
∴函数g（x）=${x}^{\frac{1}{x}}$（x＞0）的最大值为e${\;}^{\frac{1}{e}}$，
故答案为：e${\;}^{\frac{1}{e}}$

点评 本题综合考察了学生运用导数解决问题的能力，构造思想，不等式的运用，对数的运用，属于比较新颖的题目．