Question

定义：若?x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为函数y=f（x）的一个不动点
（1）下列函数不存在不动点的是

C

（单选）
   A．f（x）=1-log_ax（a＞1）B．f（x）=x²+（b+2）x+1（b＞1）C．f（x）=lnx        D．f（x）=x
（2）设f（x）=2lnx-ax²（a∈R），求f（x）的极值
（3）设g(x)=2lnx-ax2+x-

e

a

+

1

2

（e为自然对数的底数），当a＞0时，讨论函数g（x）是否存在不动点，若存在求出a的范围，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=1，可判断A中函数是否存在不动点，构造函数（x）=f（x）-x，判断函数是否存在零点，可判断B中函数是否存在不动点，根据不动点的定义，可判断D中函数有无数个不动点；
（2）求出函数的导函数，分析函数的单调性，进而可得函数的极值点，代入解析式可得函数的极值．
（3）若函数存在不动点，则方程g（x）=x有解，即2lnx-ax2-

e

a

+

1

2

=0有解，利用导数法求出2lnx-ax2-

e

a

+

1

2

的最值，比较后可得结论．

解答：解．（1）当x=1时，f（x）=1-log_ax=x，故A中函数f（x）存在不动点；
令g（x）=f（x）-x=x²+（b+1）x+1
∵b＞1
∴△=（b+1）²-4＞0
则方程g（x）=0有根，即B中函数f（x）存在不动点；
D中任意x值均为不动点，
故选C┅┅（4分）
（2）f′(x)=

2

x

-2ax=

2-2ax2

x

(x＞0)
①当a=0时，f′(x)=

2

x

＞0，f（x）在（0，+∞）上位增函数，无极值；
②当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上位增函数，无极值；
③当a＞0时，f'（x）=0，得x=

1 a

，列表如下：

X	(0， 1 a )	1 a	( 1 a ，+∞)
f'（x）	+	0	_
f（x）	增	极大值	减

当x=

1 a

时，f（x）有极大值=f(

1 a

)=-lna-1
综上，当a≤0时无极值，当a＞0时f（x）有极大值=f(

1 a

)=-lna-1．┅┅（10分）
（3）假设存在不动点，则方程g（x）=x有解，即2lnx-ax2-

e

a

+

1

2

=0有解．
设h（x）=2lnx-ax2-

e

a

+

1

2

，（a＞0）有（2）可知h（x）极大值=-lna-1-

e

a

+

1

2

=-lna-

e

a

-

1

2

，下面判断h（x）极大值是否大于0，设p(x)=-lna-

e

a

-

1

2

，（a＞0），p′(a)=-

1

a

+

e

a2

=

e-a

a2

，列表如下：

A	（0，e））	e	（e，+∞）
p'（a）	+	0	-
P（a）	增	极大值	减

当a=e时，p（a）极大值=p（e）=-

5

2

＜0，所以p(a)=-lna-

e

a

-

1

2

＜0恒成立，即h（x）极大值小于零，所以g（x）无不动点．┅┅（14分）

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，函数的值，利用导数研究函数的单调性，导数是高考必考内容，其经典题型分析单调性，求极值，求最值一定要熟练掌握．