Question

4．已知正项等差数列{a_n}前三项的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b_n}中的b₁，b₂，b₃
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=$\frac{1}{a_n^2-1}+{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质列方程解出a₂，再根据等比数列的性质列方程求出公差，从而得出数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（2）分别求出{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$}和{b_n}的前n项和，即可得出S_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁+a₂+a₃=3a₂=15，∴a₂=5，
∴{b_n}中的b₁，b₂，b₃依次为7-d，10，18+d，∴（7-d）（18+d）=100，
解得d=2或d=-13（舍去），
∴a₁=3，∴a_n=2n+1，
∵b₁=5，b₂=10，∴q=2．
∴${b_n}={b_1}•{q^{n-1}}=5•{2^{n-1}}$．
（2）$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{5（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{1}{4}•$$\frac{n}{n+1}$+5（2ⁿ-1）．

点评 本题考查了等差数列、等比数列的性质，数列求和，属于中档题．