题目内容
3．已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在实数集R上的函数，其图象与x轴交于A，B，C三点，若B点坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．（1）求c的值，写出极值点横坐标的取值范围（不需要证明）；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x0，y0），使曲线y=ax3+bx2+cx+d在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
分析 （1）利用f（x）在[-1，0]与[0，2]上有相反的单调性．得到f'（0）=0，求解c．然后写出极值点横坐标的取值范围即可．
（2）求出导数，得到f（x）的极值点，利用（1）的结果，得到${x_2}=-\frac{2b}{3a}∈[{2，4}]$，求出a，b关系，然后利用反证法证明不存在满足条件的M点．
解答 解：（1）∵f（x）在[-1，0]与[0，2]上有相反的单调性．∴f'（0）=0，∴c=0．
极值点横坐标的取值范围是x1=0，x2∈[2，4]．
（2）令f'（x）=3ax2+2bx=0，∴f（x）的极值点为${x_1}=0，{x_2}=-\frac{2b}{3a}$．
由（1）得${x_2}=-\frac{2b}{3a}∈[{2，4}]$，∴$\frac{b}{a}∈[-6，-3]$．
假设存在满足条件的点M（x0，y0），令f'（x0）=3b，得$3a{x_0}^2+2b{x_0}-3b=0$，①
∴$△=4{b^2}+36ab=4{a^2}\frac{b}{a}（{\frac{b}{a}+9}）＜0$，
∴方程①没有实数根，∴不存在满足条件的M点．
点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及反证法的应用，考查转化思想以及计算能力．
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