Question

9．已知抛物线E：y²=4x的焦点是F，过点F的直线l与抛物线E相交于A，B两点，O为原点．
（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值；
（Ⅱ）设$\overrightarrow{FB}$=t$\overrightarrow{AF}$，若t∈[2，4]，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得抛物线的焦点坐标，由题意可得直线l的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值；
（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量的坐标，得到m，t的关系式，求得|m|的范围，注意运用换元法和函数的单调性，即可得到直线l的斜率的范围．

解答 解：（Ⅰ）抛物线E：y²=4x的焦点是F（1，0），
直线l的斜率为1，可得直线l的方程为y=x-1，
代入抛物线的方程可得，x²-6x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁-1）（x₂-1）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1
=2-6+1=-3；
（Ⅱ）设直线l：x=my+1，
代入y²=4x，可得y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
由$\overrightarrow{FB}$=t$\overrightarrow{AF}$，可得y₂=t（0-y₁），
解得y₁=$\frac{4m}{1-t}$，y₂=-$\frac{4mt}{1-t}$，
即有-4=-t•（$\frac{4m}{1-t}$）²，
由t∈[2，4]，可得
2|m|=$\sqrt{t}$-$\frac{1}{\sqrt{t}}$，
令u=$\sqrt{t}$（$\sqrt{2}$≤u≤2），则y=u-$\frac{1}{u}$在[$\sqrt{2}$，2]上递增，
即有y∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$]，即|m|∈[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3}{4}$]．
则直线l的斜率的绝对值范围是[$\frac{4}{3}$，2$\sqrt{2}$]，
即有直线l的斜率的范围为[-2$\sqrt{2}$，-$\frac{4}{3}$]∪[$\frac{4}{3}$，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查抛物线的方程及运用，主要是联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式和直线方程的运用，同时考查向量的坐标运算，注意运用方程思想和转化思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题．