Question

8．已知{a_n}是等比数列，a₁=3，a₄=24，数列{b_n}满足b₁=1，b₄=-8，且{a_n+b_n}是等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{a_n+b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；
（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意得a₄=a₁q³，
∴q³=8，
解得q=2，
∴a_n=3×2^n-1，
设等差数列{a_n+b_n} 的公差为d，由题意得：a₄+b₄=（a₁+b₁ ）+3d，
∴24-8=（1+3）+3d，
解得d=4，
∴a_n+b_n=4+4（n-1）=4n，
∴b_n=4n-3×2^n-1；
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和为$\frac{3（1-{2}^{n}）}{1-2}$=-3+3×2ⁿ，
数列{a_n+b_n}的前n项和为$\frac{1}{2}$n（4n+4）=n（2n+2）=2n²+2n，
故{b_n}的前n项和为2n²+2n+3-3×2ⁿ．

点评 本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查了利用分组求和的方法求解数列的前n项和，是中档题．