Question

已知数列{a_n}是公比为d（d≠1）的等比数列，且a₁，a₃，a₂成等差数列．
（1）求d的值；
（2）设数列{b_n}是以2为首项，d为公差的等差数列，其前n项和为S_n，试比较S_n与b_n的大小．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是等比数列，且a₁，a₃，a₂成等差数列，得2a₃=a₁+a₂，从而求得公比d；
（2）{b_n}是等差数列，可得b_n与前n项和S_n，作差比较b_n与S_n的大小．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是公比为d（d≠1）的等比数列，且a₁，a₃，a₂成等差数列，
∴2a₃=a₁+a₂，
即2a₁d²=a₁+a₁d，∴2d²-d-1=0，∴d=-

1

2

，或d=1（舍去）．
所以，d=-

1

2

；
（2）∵数列{b_n}是以2为首项，d为公差的等差数列，
∴b_n=2+（n-1）×（-

1

2

）=-

1

2

n+

5

2

，其前n项和S_n=2n+n（n-1）•（-

1

4

）=-

1

4

n²+

9

4

n；
∴b_n-S_n=（-

1

2

n+

5

2

）-（-

1

4

n²+

9

4

n）=

1

4

n²-

11

4

n+

5

2

=

1

4

(n-

11

2

)2-

81

16

；
所以，当n=1或n=10时，b_n-S_n=0，即b_n=S_n；
当1＜n＜10时，b_n-S_n＜0，即b_n＜S_n；
当n＞10时，b_n-S_n＞0，即b_n＞S_n．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，以及作差比较两数（式）的大小，是易错的题目．