题目内容
16．已知函数$f（x）={x^3}-{x^2}+（{2\sqrt{2}-3}）x+3-2\sqrt{2}$，f（x）与x轴依次交于点A、B、C，点P为f（x）图象上的动点，分别以A、B、C，P为切点作函数f（x）图象的切线．（1）点P处切线斜率最小值为2$\sqrt{2}$-$\frac{10}{3}$
（2）点A、B、C处切线斜率倒数和为0．
分析 （1）求出f（x）的导数，配方，即可得到所求切线的斜率的最小值；
（2）由题意可设f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3），求出导数，分别求出点A、B、C处切线斜率，再求倒数，化简即可得到所求和．
解答 解：（1）函数$f（x）={x^3}-{x^2}+（{2\sqrt{2}-3}）x+3-2\sqrt{2}$，
导数为f′（x）=3x2-2x+2$\sqrt{2}$-3
=3（x-$\frac{1}{3}$）2+2$\sqrt{2}$-$\frac{10}{3}$，
当x=$\frac{1}{3}$时，切线的斜率取得最小值2$\sqrt{2}$-$\frac{10}{3}$；
（2）可令f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3），
f′（x）=（x-x2）（x-x3）+（x-x1）[（x-x2）+（x-x3）]，
f′（x1）=（x1-x2）（x1-x3），f′（x2）=（x2-x1）（x2-x3），
f′（x3）=（x3-x1）（x3-x2），
可得点A、B、C处切线斜率倒数和为$\frac{1}{f′（{x}_{1}）}$+$\frac{1}{f′（{x}_{2}）}$+$\frac{1}{f′（{x}_{3}）}$
=$\frac{1}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（$\frac{1}{{x}_{1}-{x}_{3}}$-$\frac{1}{{x}_{2}-{x}_{3}}$）+$\frac{1}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{2}）}$
=$\frac{1}{{x}_{1}-{x}_{2}}$•$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-{x}_{3}）（{x}_{2}-{x}_{3}）}$+$\frac{1}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{2}）}$
=-$\frac{1}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{2}）}$+$\frac{1}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{2}）}$=0．
故答案为：（1）2$\sqrt{2}$-$\frac{10}{3}$，（2）0．
点评 本题考查导数的概念和应用：求切线的斜率，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
怎样学好牛津英语系列答案| A． | {x|x＜$\frac{1}{2}$} | B． | {x|x＜0或0＜x＜$\frac{1}{2}$} | C． | {x|x＞$\frac{1}{2}$} | D． | {x|0＜x＜$\frac{1}{2}$} |
| 参加书法班 | 未参加书法班 | |
| 参加演讲班 | 8 | 5 |
| 未参加演讲班 | 2 | 33 |
（II）在既参加书法班又参加演讲班的8名学员中，有5名男学员A1，A2，A3，A4，A5，3名女学员B1，B2，B3．现从这5名男学员和3名女学员中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
| A． | $2\sqrt{3}$ | B． | 9 | C． | $\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$ | D． | $\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$ |
如图示，边长为4的正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，M、Q分别是PC，AD的中点．
如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？（ ）| A． | 二次函数：y=2t2 | B． | 幂函数：y=t3 | ||
| C． | 指数函数：y=2t | D． | 对数函数：y=log2t |