Question

已知函数对任意实数恒有且当时，有且.

(1)判断的奇偶性；

(2)求在区间上的最大值；

(3)解关于的不等式.

 

Answer 1

(1)奇函数；(2)；

(3)当时，

当时，

当时，

当时,

【解析】

试题分析：(1)赋值法：先令，再令

(2)根据 以及当 时，有 ，利用函数单调性的定义判断得出为上的减函数；并由单调性求其最值;

(3)由（1）和（2）的结论，先将不等式化为；再由函数的单调性转化为 关于的不等式对的不同取值，分别讨论不等式的解.

试题解析：解（1）取则

取

对任意恒成立 ∴为奇函数.

（2）任取， 则

又为奇函数

∴在（－∞，+∞）上是减函数.

对任意，恒有

而

∴在[－3，3]上的最大值为6

（3）∵为奇函数，∴整理原式得

进一步可得

而在（－∞，+∞）上是减函数，

当时，

当时，

当时，

当时,

考点：1、赋值法解决抽象函数的有关问题；2、函数单调性的定义；3、分类讨论的思想.