Question

15．若函数f（x）=x³+m-2为R上的奇函数，则函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+x-m，x≤2}\\{mlnx-x，x＞2}\end{array}\right.$ 的零点的个数为1个．

Answer 1

分析 由奇函数的定义，可得f（-x）=-f（x），求得m=2，令h（x）=e^x+x-2，由零点存在定理可得h（x）在（-∞，2]只有一个零点；设m（x）=2lnx-x，x＞2，求出导数，判断单调性，可得m（x）无零点，进而得到g（x）的零点个数．

解答 解：若函数f（x）=x³+m-2为R上的奇函数，
可得f（-x）=-f（x），即有-x³+m-2=-x³-m+2，
即为m-2=0，即m=2，
函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+x-m，x≤2}\\{mlnx-x，x＞2}\end{array}\right.$，即为g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+x-2，x≤2}\\{2lnx-x，x＞2}\end{array}\right.$，
令h（x）=e^x+x-2，可得h（x）在（-∞，2]递增，
且h（0）=e⁰+0-2=-1＜0，h（2）=e²+2-2=e²＞0，
由零点存在定理，可得h（x）在（-∞，2]只有一个零点；
设m（x）=2lnx-x，x＞2，则m′（x）=$\frac{2}{x}$-1=$\frac{2-x}{x}$，
由x＞2可得m′（x）＜0，m（x）在（2，+∞）递减，
由m（2）=2ln2-2＜0，可得m（x）＜0在（2，+∞）恒成立．
综上可得，g（x）的零点个数为1．
故答案为：1．

点评 本题考查函数的零点个数的判断，注意运用奇函数的定义和函数的单调性、零点存在定理和导数的运用，考查运算能力和判断能力，属于中档题．