Question

9．已知函数f（x）=（sinx-cosx）²-$\sqrt{3}$cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调区间．

解答 解：（1）函数f（x）=（sinx-cosx）²-$\sqrt{3}$cos2x=1-sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=1-2（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）=1-2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
故f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数f（x）的减区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，可得函数f（x）的增区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题．