Question

11．已知等差数列{a_n}的公差d=2，前n项的和为S_n．等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₄，b₃=a₁₃．
（I）求{a_n}，{b_n}及数列{b_n}的前n项和B_n；
（II）记数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：a_n=a₁+2（n-1），b₂²=b₁b₃，（a₁+6）2=a₁（a₁+24），解得a₁，可得a_n．设等比数列{b_n}的公比为q，则q=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$．可得数列{b_n}的前项和B_n．
（Ⅱ）由（I）可得：S_n=n²+2n．因此$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）由题意可得：a_n=a₁+2（n-1），b₂²=b₁b₃，（a1+6）2=a₁（a₁+24），解得a₁=3．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
设等比数列{b_n}的公比为q，则q=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=$\frac{9}{3}$=3．
∴数列{b_n}的前项和B_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$=$\frac{3}{2}$（3n-1）．
（Ⅱ）由（I）可得：S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）．
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．