题目内容

14．已知（2x-3）4=${a}_{0}{+a}_{1}x{+a}_{2}{x}^{2}{+a}_{3}{x}^{3}{+a}_{4}{x}^{4}$，求
（Ⅰ）a1+a2+a3+a4．
（Ⅱ）${（a}_{0}{{+a}_{2}+a}_{4}）^2-{（a}_{1}{+a}_{3}）^{2}$．
（Ⅲ）|a1|+|a2|+|a3|+|a4|

分析 （Ⅰ）在已知二项式中分别取x=0、x=1联立求得a1+a2+a3+a4；
（Ⅱ）展开平方差公式，在已知二项式中分别取x=-1、x=1联立求${（a}_{0}{{+a}_{2}+a}_{4}）^2-{（a}_{1}{+a}_{3}）^{2}$；
（Ⅲ）结合（Ⅰ）、（Ⅱ）求得|a1|+|a2|+|a3|+|a4|．

解答 解：（Ⅰ）在（2x-3）4=${a}_{0}{+a}_{1}x{+a}_{2}{x}^{2}{+a}_{3}{x}^{3}{+a}_{4}{x}^{4}$中，
取x=0，得a0=81，取x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=1，
∴a1+a2+a3+a4 =-80；
（Ⅱ）在（2x-3）4=${a}_{0}{+a}_{1}x{+a}_{2}{x}^{2}{+a}_{3}{x}^{3}{+a}_{4}{x}^{4}$中，
取x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=1，
取x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4=625，
∴${（a}_{0}{{+a}_{2}+a}_{4}）^2-{（a}_{1}{+a}_{3}）^{2}$ 
=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0-a1+a2-a3+a4）=625；
（Ⅲ）由二项式可知，|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=-a1+a2-a3+a4，
由（Ⅰ）知，a0=81，由（Ⅱ）知，a0-a1+a2-a3+a4=625，
∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=-a1+a2-a3+a4=625-81=544．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查了特值法的应用，是中档题．

练习册系列答案
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