Question

16．已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=$\frac{n-g（x）}{m+2g（x）}$是奇函数．
（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）+a在（-1，1）上有零点，求a的取值范围；
（3）若对任意的t∈（-4，4），不等式f（6t-3）+f（t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），由g（3）=8可确定y=g（x）的解析式，故y=$f（x）=\frac{{n-{2^x}}}{{m+{2^{x+1}}}}$，依题意，f（0）=0可求得n，从而可得y=f（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）+a在（-1，1）上有零点，利用零点存在定理，由h（-1）h（1）＜0，可求a的取值范围；
（3）由（2）知奇函数f（x）在R上为减函数，对任意的t∈（-4，4），不等式f（6t-3）+f（t²-k）＜0恒成立?6t-3＞k-t²，分离参数k，利用二次函数的单调性可求实数k的取值范围．

解答 （本小题12分）
（1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a³=8，解得a=2．
∴g（x）=2^x．…（1分）
∴$f（x）=\frac{{n-{2^x}}}{{m+{2^{x+1}}}}$，
∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴$\frac{n-1}{2+m}=0$=0，∴n=1，
∴$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{m+{2^{x+1}}}}$又f（-1）=f（1），∴$\frac{{1-\frac{1}{2}}}{m+1}=-\frac{1-2}{4+m}$=，解得m=2
∴$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}$．…（3分）
（2）由（1）知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
易知f（x）在R上为减函数，…（4分）
又h（x）=f（x）+a在（-1，1）上有零点，
从而h（-1）h（1）＜0，即$（{-\frac{1}{2}+\frac{1}{{\frac{1}{2}+1}}+a}）（{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2+1}+a}）＜0$，…（6分）
∴（a+$\frac{1}{6}$）（a-$\frac{1}{6}$）＜0，
∴-$\frac{1}{6}$＜a＜$\frac{1}{6}$，
∴a的取值范围为（-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}$）；…（8分）
（3）由（1）知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
又f（x）是奇函数，∴f（6t-3）+f（t²-k）＜0，
∴f（6t-3）＜-f（t²-k）=f（k-t²），
∵f（x）在R上为减函数，由上式得6t-3＞k-t²，…（10分）
即对一切t∈（-4，4），有t²+6t-3＞k恒成立，
令m（t）=t²+6t-3，t∈（-4，4），易知m（t）＞-12，…（11分）
∴k＜-12，即实数k的取值范围是（-∞，-12）．…（12分）

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的应用，考查零点存在定理及二次函数的性质，考查函数方程思想、转化思想与运算求解能力，属于综合题．