Question

已知函数f（x）=lg

1+ax

1-x

（a＞0）为奇函数，函数g（x）=

2

x2

+b（b∈R）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当x∈[

1

3

，

1

2

]时，关于x的不等式f（1-x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求f（x）的定义域，根据奇函数的定义域关于原点对称即可求得a的值，并得到f（x）的定义域；
（2）求出f（1-x）=lg

2-x

x

，所以由f（1-x）≤lgg（x）及对数函数的单调性即可得到

2-x

x

≤

2

x2

+b，所以b≥-

2

x2

+

2

x

-1，根据原不等式有解，所以求-

2

x2

+

2

x

-1最小值即可．设h（x）=-

2

x2

+

2

x

-1，通过求导判断h（x）在[

1

3

，

1

2

]上的单调性，根据单调性即可求出h（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵a＞0，∴解

1+ax

1-x

＞0得，-

1

a

＜x＜1；
∵f（x）为奇函数；
∴定义域关于原点对称，所以a=1；
∴f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）f（x）=lg

1+x

1-x

，f（1-x）=lg

2-x

x

；
∴lg

2-x

x

≤lg(

2

x2

+b)；
∴

2-x

x

≤

2

x2

+b；
∴b≥-

2

x2

+

2

x

-1，设h（x）=-

2

x2

+

2

x

-1；
∴h′(x)=

4

x3

-

2

x2

=

4-2x

x3

；
∵x∈[

1

3

，

1

2

]；
∴h′（x）＞0；
∴h（x）在[

1

3

，

1

2

]上单调递增；
∴h(

1

3

)=-13是h（x）在[

1

3

，

1

2

]上的最小值；
∴b≥-13；
∴b的取值范围为[-13，+∞）．

点评：考查奇函数的定义域的特点，对数函数的单调性，以及根据函数导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值，注意正确求导．