Question

10．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=$\sqrt{10}$，点B的坐标为（m，-2），tan∠AOC=$\frac{1}{3}$．
（1）求反比例函数、一次函数的解析式；
（2）求三角形ABO的面积；
（3）在y轴上存在一点P，使△PDC与△CDO相似，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥x轴于E，tan∠AOE=$\frac{1}{3}$，可得OE=3AE，利用勾股定理得，可得AE=1，OE=3，A的坐标为（3，1），A点在双曲线上，可得反比例函数，B（m，-2）在双曲线上，可得B的坐标，可得一次函数的解析式；
（2）三角形S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，利用坐标可求．
（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，C，D在直线AB上．此时△PDC与△CDO相似，可得P的坐标．

解答 解：（1）过A作AE⊥x轴于E，tan∠AOE=$\frac{1}{3}$，∴OE=3AE，
∵OA=$\sqrt{10}$，由勾股定理得：OE²+AE²=10，解得：AE=1，OE=3，∴A的坐标为（3，1），
∵A点在双曲线上y=$\frac{k}{x}$上，∴1=$\frac{k}{3}$，∴k=3，
∴双曲线的解析式y=$\frac{3}{x}$；
∵B（m，-2）在双曲y=$\frac{3}{x}$上，∴-2=$\frac{3}{m}$，解得：m=-$\frac{3}{2}$，∴B的坐标是（-$\frac{3}{2}$，-2），
代入一次函数的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=1}\\{-\frac{3}{2}a+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$
则一次函数的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x-1；
（2）连接BO，∵一次函数的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x-1；
∴D（0，-1），
∴三角形S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=$\frac{1}{2}$×DO×3+$\frac{1}{2}$×DO×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$．
（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，
∵C，D两点在直线y=$\frac{2}{3}$x-1上，
∴C，D的坐标分别是：C（，0），D（0，-1）．
即：OC=$\frac{3}{2}$，OD=1，∴DC=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∵△PDC∽△CDO，∴$\frac{PD}{DC}=\frac{DC}{DO}$，∴PD=$\frac{D{C}^{2}}{DO}$，
又∵OP=DP-OD=$\frac{13}{4}$-1=$\frac{9}{4}$，
∴P点坐标为（0，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查了反比例函数、一次函数的解析式求法，三角形的面积求法和相似三角形的性质运用．属于中档题．