Question

（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知动点到两个定点，的距离的和为定值．

（1）求点运动所成轨迹的方程；

（2）设为坐标原点，若点在轨迹上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1） （2） 直线与圆相切

【解析】

试题分析：（1）由题知点运动所成轨迹符合椭圆定义，则易求其轨迹方程

（2）设点，，显然其中.由题，可得

当直线的斜率不存在时, ，代入椭圆方程可得，解得：，此时直线的方程为或，显然与圆相切）

当直线的斜率存在，即时，直线的方程为：，由点到直线距离公式

将，代入化简得所以，直线与圆相切

试题解析：（1）由题意知：

所以，由椭圆的定义可知：动点运动的轨迹是: 以，为焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，且短半轴长为

所以轨迹的方程为）

（2）直线与圆相切

证明如下：设点，，显然其中,

因为，所以，即，所以）

①当直线的斜率不存在时，即时，，代入椭圆方程可得：

，解得：，

此时直线的方程为或，显然与圆相切）

②当直线的斜率存在，即时，直线的方程为：

，即）

此时，圆心到直线的距离）

又因为，

所以

==

=，所以，直线与圆相切

综上，直线与圆相切

考点：由椭圆定义求椭圆方程，直线与圆的位置关系

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 试题属性

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