Question

18．已知三棱锥P---ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足$BA=BC=\sqrt{6}$，$∠ABC=\frac{π}{2}$，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（　　）

• A． 8π
• B． 16π
• C． $\frac{16}{3}π$
• D． $\frac{32}{3}π$

Answer 1

分析 求出棱锥的最大高度，利用勾股定理计算外接圆的半径，从而得出球的体积．

解答 解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC为截面圆的直径，故外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，
∴当P，O，D共线且P，O位于截面同一侧时棱锥的体积最大，
棱锥的最大高度为PD，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\sqrt{6}$×PD=3，解得PD=3，
设外接球的半径为R，则OD=3-R，OC=R，
在△ODC中，CD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：（3-R）²+3=R²，解得R=2．
∴外接球的体积V=$\frac{4π}{3}$×2³=$\frac{32π}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了棱锥与球的位置关系，几何体的体积计算，属于中档题．