Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+a\;\;\;\;\;x≥0\\{2^x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x＜0\end{array}$，其中a∈R．
（1）若a=0，解不等式f（x）≥$\frac{1}{4}$；
（2）已知函数y=f（x）存在反函数，其反函数记为y=f^-1（x）．若关于x的不等式：f^-1（4-a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，分类讨论满足f（x）≥$\frac{1}{4}$的x值，可得答案；
（2）若f^-1（4-a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，则f^-1（4-a）≤a，进而得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
∵$f（x）≥\frac{1}{4}$，
∴当x≥0时，f（x）=x²$≥\frac{1}{4}$，解得x≥$\frac{1}{2}$；
当x＜0时，f（x）=${2}^{x}≥\frac{1}{4}$，解得-2≤x＜0；
综上，不等式$f（x）≥\frac{1}{4}$的解集为{x|-2≤x＜0或x≥$\frac{1}{2}$}；
（2）若函数y=f（x）存在反函数，
则函数f（x）在R为单调函数，则a≥1，
此时函数f（x）在R为单调递增函数，
x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=a；
此时f^-1（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-a}，x≥1\\{log}_{2}x，0＜x＜1\end{array}\right.$在（0，+∞）上也为增函数，
若关于x的不等式：f^-1（4-a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}4-a＞0\\{f}^{-1}（4-a）≤a\end{array}\right.$，
当0＜4-a＜1，即3＜a＜4时，log₂（4-a）≤a恒成立，
当4-a≥1，即1≤a≤3时，解：$\sqrt{4-2a}≤a$得：-1+$\sqrt{5}$≤a≤2
综上可得：a∈[-1+$\sqrt{5}$，2]∪（3，4）．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，反函数，函数恒成为问题，转化思想，分类讨论思想，难度中档．