Question

10．已知椭圆C的两焦点分别为F₁（-2$\sqrt{2}$，0）、F₂（2$\sqrt{2}$，0），长轴长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，试探究原点O是否在以线段AB为直径的圆上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意得：$c=2\sqrt{2}，a=3$，a²=b²+c²可得b；
（Ⅱ）设$A（\begin{array}{l}{{x_1}，{y_1}}\end{array}），B（\begin{array}{l}{{x_2}，{y_2}}\end{array}）$，直线AB的方程为y=x+2，由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{9}+{y^2}=1\\ y=x+2\end{array}\right.$得：10x²+36x+27=0，
△＞0及$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$进行判定．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）根据题意得：$c=2\sqrt{2}，a=3$，所以b=1，…（2分）
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$；…（4分）
（Ⅱ）设$A（\begin{array}{l}{{x_1}，{y_1}}\end{array}），B（\begin{array}{l}{{x_2}，{y_2}}\end{array}）$，直线AB的方程为y=x+2，…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{9}+{y^2}=1\\ y=x+2\end{array}\right.$得：10x²+36x+27=0，…（7分）
△＞0则${x_1}+{x_2}=-\frac{18}{5}，{x_1}{x_2}=\frac{27}{10}$，…（9分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=2{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）+4=\frac{27}{5}-\frac{36}{5}+4=\frac{11}{5}≠0$，…（11分）
∴原点O不在以线段AB为直径的圆上．…（12分）

点评 本题考查了椭圆的方程及椭圆与直线的位置关系及圆过定点，属于中档题．