题目内容

已知椭圆C：
x2
8
+
y2
4
=1的左焦点为F1，直线l：y=x-2与椭圆C交于A、B两点．
（1）求线段AB的长；
（2）求△ABF1的面积．
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
因为
x2
8
+
y2
4
=1和y=x-2相交，把两个方程联立，得
x2+2y2-8=0
y=x-2

代入得到x2+2（x-2）2-8=0，即3x2-8x=0，解得x1=0，x2=
8
3

所以y1=-2，y2=
2
3
，
所以|AB|=
(0-
8
3
)2+(-2-
2
3
)2
=
8
3
2

（2）法一：因为点F1（-2，0）到直线y=x-2的距离为d=
|-2-2|
1+1
=2
2

所以S△ABF1=
1
2
|AB|•d=
1
2
•
8
2
3
•2
2
=
16
3

法二：直线y=x-2通过椭圆的右焦点F2（2，0），
则△ABF2的面积为S△ABF1=
1
2
|F1F2|(|y1|+|y2|)=
1
2
×4×(2+
2
3
)=
16
3
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
8
+
y2
4
=1的左焦点为F1，直线l：y=x-2与椭圆C交于A、B两点．
（1）求线段AB的长；
（2）求△ABF1的面积．
已知椭圆E：
x2
8
+
y2
4
=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆上一点，若以（1，0）为圆心的圆C与直线PF1，PF2均相切，则点P的横坐标为（　　）
（2011•重庆一模）已知椭圆E：
x2
8
+
y2
4
=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得
GF
GP
=
1
2
？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，双曲线
x2
2
-
y2
2
=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（　　）

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