Question

已知函数f（x）=e^x（-x²+b）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x+3．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈（-1，+∞）时，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．由点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x+3．可得f（0）=3，f′（0）=3．解得b，由f′（x）＜0，解出可得函数f（x）的单调递减区间．
（2）f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1），化为e^x（2x+3）≥m（x+1），由x∈（-1，+∞）时，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立?m≤

ex(2x+3)

x+1

的最小值．令h（x）=

ex(2x+3)

x+1

．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．
∵点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x+3．
∴f（0）=3，f′（0）=3．
∴b=3，
∴f′（x）=e^x（-x²-2x+3）=-e^x（x+3）（x-1），
由f′（x）＜0，化为（x+3）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-3，
∴函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-3），（1，+∞）；
（2）f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1），化为e^x（2x+3）≥m（x+1），
∵x∈（-1，+∞）时，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立，
∴m≤

ex(2x+3)

x+1

．
令h（x）=

ex(2x+3)

x+1

．
则h′（x）=

ex(2x+5)(x+1)-ex(2x+3)

(x+1)2

=

ex(2x2+5x+2)

(x+1)2

=

ex(2x+1)(x+2)

(x+1)2

．
令h′（x）＞0，解得x＞-

1

2

，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得-1＜x＜-

1

2

，此时函数h（x）单调递减．
∴当x=-

1

2

时，函数h（x）取得最小值，h(-

1

2

)=

4

e

=

4 e

e

．
∴m≤

4 e

e

．
∴实数m的取值范围是(-∞，

4 e

e

]．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、导数几何意义，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．