Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+a（1+lnx）（a≥0）．
（1）求曲线y=f（x）在（2，f（2））处与直线y=-x+1垂直的切线方程．
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义，即可求出；
（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的极值的关系即可求出．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+a（1+lnx），
∴f′（x）=x-（a+1）+$\frac{a}{x}$，
∵曲线y=f（x）在（2，f（2））处与直线y=-x+1垂直，
∴f′（2）=2-（a+1）+$\frac{a}{2}$=1，
∴a=0，
∴f（2）=2-2=0，
∴切线方程为y=x-2，即x-y-2=0
（2）∵$f'（x）=x-a-1+\frac{a}{x}=\frac{（x-1）（x-a）}{x}（x＞0）$，
当0＜a＜1时，函数在（a，1）上单调递减，在（0，a），（1，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=1处取得极小值$-\frac{1}{2}$，在x=a处取得极大值$-\frac{1}{2}{a^2}+alna$，
当a=1时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时函数无极值，
当a＞1时，函数在（1，a）上单调递减，在（0，1），（a，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=1处取得极大值$-\frac{1}{2}$，在x=a处取得极小值$-\frac{1}{2}{a^2}+alna$

点评 本题考查了导数的几何意义和导数和最值的关系，以及分类讨论讨论的关系，属于中档题