Question

4．我国2009年至2015年生活垃圾无害化处理量y（单位：亿吨）的数据如下表：

年份	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
年份代号i	1	2	3	4	5	6	7
年生活垃圾无害化处理量y	0.7	1.1	1.4	2.2	2.6	3.0	3.7

（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i-n\overline{t}\overline{y}}}{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的x的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．

解答 解：（1）由题意，$\overline{t}$=$\frac{1}{7}$×（1+2+3+4+5+6+7）=4，$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$×（0.7+1.1+1.4+2.2+2.6+3.0+3.7）=2.1，
∴b=$\frac{0.7+2.2+4.2+8.8+13+18+25.9-7×4×2.1}{1+4+9+16+25+36+49-7×16}$=0.5，a=2.1-0.5×4=0.1．
∴y关于x的线性回归方程为y=0.5x+0.1；
（2）将2017年的年份代号t=9代入y=0.5x+0.1，得：y=0.5×9+0.1=4.6，
故预测2017年我国生活垃圾无害化处理量为4.6亿吨．

点评 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件．