Question

17．在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=4，点E为PC的中点．
（1）求证：CD⊥平面PBD；
（2）若直线EB与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，试求三棱锥P-ABD的外接球的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点F，连接DF，在梯形ABCD中，可得CD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，由BC²=BD²+CD²，得CD⊥BD，又PB⊥平面ABCD，得PB⊥CD，即可得CD⊥平面PBD；
（Ⅱ）由直线EB与平面ABCD所成角的正切值，设三棱锥P-BAD的外接球半径为R，可得（2R）²=PB²+AB²+AD²，得R，利用球的体积公式即可求解．

解答 解：（Ⅰ）如图，取BC中点F，连接DF，在梯形ABCD中，∵AB=AD=2，BC=4，可得CD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
则BC²=BD²+CD²，故CD⊥BD，
又∵PB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PB⊥CD，
PB?面PBD，DB?面PBD，且PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD；
（Ⅱ）如图，过D作DF⊥BC交BC于F，连接EF，则EF∥PB，EF⊥面ABCD
∴∠EBC直线EB与平面ABCD所成角，∴tan∠EBC=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，∵BF=2，∴EF=1，PB=2
设三棱锥P-BAD的外接球半径为R，可得（2R）²=PB²+AB²+AD²，∴$R=\sqrt{3}$，
V_球=$\frac{4}{3}π{R}^{3}=4\sqrt{3}π$．

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，面面角、线面角的求解，属于中档题．