Question

13．数列{a_n}的前n项和S_n满足${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_1}$，且a₁，a₂+6，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_1}$，再写一式，两式相减，可得a_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$a_n-1，即a_n=3a_n-1．由a₁，a₂+6，a₃成等差数列，得2（a₂+6）=a₁+a₃，解得a₁=3，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，确定通项，利用裂项法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_1}$，再写一式，两式相减，可得a_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$a_n-1，即a_n=3a_n-1．
由a₁，a₂+6，a₃成等差数列，得2（a₂+6）=a₁+a₃，解得a₁=3．
故数列{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a_n=3ⁿ．
（Ⅱ）a_n+1=3ⁿ⁺¹，S_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{2}$，则S_n+1=$\frac{3（{3}^{n+1}-1）}{2}$．
b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$），
所以数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{2}{3}$[（$\frac{1}{3-1}$-$\frac{1}{{3}^{2}-1}$）+（$\frac{1}{{3}^{2}-1}$-$\frac{1}{{3}^{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$）]=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$）．

点评 本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，利用裂项相消法求数列的和．