题目内容

9．已知向量$\overrightarrow{m}$≠0，λ∈R，$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{m}$+λ$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{n}$，若向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，则（　　）
A．λ=0B．$\overrightarrow{n}$=0C．$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$D．λ=0或$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$

分析 根据$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，可判断$\overrightarrow{b}$是否为$\overrightarrow{0}$：$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$时，满足$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线，而此时会得到λ=0，或$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，而$\overrightarrow{b}≠\overrightarrow{0}$时，根据条件可以判断出$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{b}$共线，$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{b}$共线，从而便可得出$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，这样即得出λ=0，或$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，满足$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，此时$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$；
（2）若$\overrightarrow{n}≠\overrightarrow{0}$，λ=0，则$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，满足$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，此时λ=0；
（3）若$\overrightarrow{n}≠\overrightarrow{0}$，λ≠0，则$\overrightarrow{b}≠\overrightarrow{0}$；
∵$\overrightarrow{b}=λ\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线；
∴$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{b}$共线，$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{b}$共线；
∴$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$共线，即$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$；
∴综上得λ=0，或$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
故选：D．

点评 考查共线向量的概念，知道零向量和任何非零向量共线，当满足$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线时，会得到$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}$都共线，两个向量都和一个非零向量共线时，这两个向量共线．

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