Question

18．已知函数f（x）=sinx（2$\sqrt{3}$cosx-sinx）+1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期T即可；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，求出f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上单调递增，[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的单调递减．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx（2$\sqrt{3}$cosx-sinx）+1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x+1
=$\sqrt{3}$（2sinxcosx）+（1-2sin²x）
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（Ⅱ）令z=2x+$\frac{π}{6}$，
则函数y=2sinz在区间[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z上单调递增；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
令A=[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，B=[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z，
则A∩B=[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]；
∴当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时，f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上单调递增，在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的单调递减．

点评 本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题目．