Question

9．已知函数f（x）=x³-x²-ax+b（a，b∈R），当x=1时f（x）取得极值2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，b]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，各个关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-2x-a，
因为x=1时f（x）取得极值2，
所以$\left\{\begin{array}{l}f（1）=2\\ f′（1）=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-1-a+b=2\\ 3-2-a=0\end{array}\right.$，
解得a=1，b=3，经检验符合题意．                                    
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=3，
f（x）=x³-x²-x+3，
f′（x）=3x²-2x-1，
当x∈（0，1）时f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，3）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又f（0）=3，f（3）=18，而3＜18，
故f（x）在区间[0，b]上的最大值为f（3）=18．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．