Question

12．△ABC三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC+csinA=0，则（1+tanA）•（1+tanB）=2．

Answer 1

分析 利用正弦定理求得 tanC=-1，C=$\frac{3π}{4}$，利用两角和的正切公式求得 tanA+tanB=1-tanAtanB，从而得到要求式子的值．

解答 解：△ABC中，∵acosC+csinA=0，∴由正弦定理可得 sinAcosC+sinCsinA=sinA（cosC+sinC）=0，
∵sinA≠0，∴cosC+sinC=0，∴tanC=-1，∴C=$\frac{3π}{4}$．
∴A+B=$\frac{π}{4}$，即A=$\frac{π}{4}$-B，∴tanA=tan（$\frac{π}{4}$-B）=$\frac{1-tanB}{1+tanB}$，即 tanA+tanB=1-tanAtanB，
则（1+tanA）•（1+tanB）=1+（tanA+tanB）+tanAtanB=1+（1-tanAtanB）+tanAtanB=2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查正弦定理、两角和的正切公式的应用，属于基础题．