Question

7．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁B₁B为正方形，侧面侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（I）求证：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（II）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为2$\sqrt{3}$，求点A到平面A₁B₁C₁的距离．

Answer 1

分析 （I）证AB垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直⇒面面垂直；
（II）求得三棱锥B₁-ABC的体积，利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：由侧面AA₁B₁B为正方形，知AB⊥BB₁．
又∵AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，∴AB⊥平面BB₁C₁C，
又∵AB?平面AA₁B₁B，∴平面AA₁B₁B⊥BB₁C₁C．
（Ⅱ）解：设AB=a，点A到平面A₁B₁C₁的距离为h．
由题意，△BB₁C是边长为a的等边三角形，在直角三角形ABC中，AB=BC=a，
由（Ⅰ）AB⊥平面BB₁C₁C，则三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=3${V}_{A-B{B}_{1}C}$
∴S_△ABC•h=3×$\frac{1}{3}×{S}_{△B{B}_{1}C}×AB$，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}{a}^{2}h=3•\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}•a$=2$\sqrt{3}$
∴a=2，h=$\sqrt{3}$，
∴A到平面A₁B₁C₁的距离为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查面面垂直的判定及空间几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．