Question

11．已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤9的解集为{x|-2≤x≤16}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式f（x）+f（x-1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解绝对值不等式求得它的解集，再根据不等式f（x）≤9的解集为{x|-2≤x≤16}，求出a的值．
（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）+f（x-1）的最小值，从而得到实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|x-a|，由不等式f（x）≤9，可得|x-a|≤9，
∴-9≤x-a≤9，即a-9≤x≤a+9．
再根据不等式f（x）≤9的解集为{x|-2≤x≤16}，可得 $\left\{\begin{array}{l}{a-9=-2}\\{a+9=16}\end{array}\right.$，∴a=7．
（2）在（1）的条件下，∵不等式f（x）+f（x-1）=|x-7|+|x-8|≥m对一切实数x恒成立，
而式f（x）+f（x-1）=|x-7|+|x-8|≥|x-7-（x-8）|=1，当且仅当7≤x≤8时，取等号，
故有1≥m，即m≤1，故实数m的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，属于中档题．