Question

20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）A=45°，B=60°，a=$\sqrt{2}$，求b的值
（2）若△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$c=2，A=\frac{π}{3}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得b=$\frac{asinB}{sinA}$，由此能求出b．
（2）由△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出b=1，再利用余弦定理能求出a的值．

解答 解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
A=45°，B=60°，a=$\sqrt{2}$，
∴由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}×sin60°}{sin45°}$=$\sqrt{3}$．…（6分）
（2）∵△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$c=2，A=\frac{π}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×b×2×sin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得b=1，
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{1+4-2×1×2×cos\frac{π}{3}}$=$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查三角形中边长的求法，考查三角形面积、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．