Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，

(1)求证：A1、G、C三点共线；

(2)求证：A1C⊥平面BC1D；

(3)求点C到平面BC1D的距离．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）见解析 （3）a.

【解析】【解析】
(1)证明：＝＋＋＝＋＋，

可以证明：＝(＋＋)＝，∴∥，即A1、G、C三点共线．

(2)证明：设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝a，

且a·b＝b·c＝c·a＝0，

∵＝a＋b＋c，＝c－a，

∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，

∴⊥，即CA1⊥BC1，

同理可证：CA1⊥BD，

因此A1C⊥平面BC1D.

(3)∵＝a＋b＋c，

∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2，

即||＝a，因此||＝a.

即C到平面BC1D的距离为a.