Question

16．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x，若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上两个解，则实数m的取值范围为-9＜m＜0．

Answer 1

分析 由方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上两个解转化为m=f（x）-x²=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x在（0，+∞）上两个解，构造函数h（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和取值范围即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x，若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上两个解，
∴等价为m=f（x）-x²=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x在（0，+∞）上两个解，
设h（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，
则h′（x）=x²-2x-3，
由h′（x）＞0得x＞3或x＜-1（舍），
由h′（x）＜0得-1＜x＜3，即0＜x＜3，
即当x=3时，函数取得极小值h（3）=9-9-9=-9，
∵h（0）=0，
∴要使m=h（x）在（0，+∞）上有两个解，
则-9＜m＜0；
故答案为：-9＜m＜0

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数的交点个数问题，利用条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和取值范围是解决本题的关键．