Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AB∥CD，PA=AB=AD=2，DC=1，AD⊥AB，PD=PB=2$\sqrt{2}$．点M是PB的中点．
（1）证明：CM∥平面PAD；
（2）求四面体MABC的体积．

Answer 1

分析 （1）取PA的中点N，连接MN，推导出四边形MNCD是平行四边形，从而CM∥DN，由此能证明CM∥平面PAD．
（2）推导出PA⊥平面ABCD，作MN⊥AB于E，则ME⊥平面ABCD，则ME=1，由此能求出四面体MABC的体积．

解答 证明：（1）取PA的中点N，连接MN，有MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∴MN$\underset{∥}{=}$DC，∴四边形MNCD是平行四边形，∴CM∥DN，
又DN?平面PAD，CM?平面PAD，
∴CM∥平面PAD．
解：（2）依题意知：PA²+AB²=PB²，PA²+AD²=PD²，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
∵AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，
作MN⊥AB于E，则ME⊥平面ABCD，则ME=1，
则${V}_{M-ABC}=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．