题目内容
已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且C=2A，cosA=
．
（1）求c：a的值；
（2）求证：a，b，c成等差数列．
| 3 |
| 4 |
（1）求c：a的值；
（2）求证：a，b，c成等差数列．
考点：等差关系的确定,二倍角的正弦
专题：解三角形
分析：（1）利用倍角公式与正弦定理即可得出；
（2）利用倍角公式、两角和差的正弦公式、等差数列的定义即可得出．
（2）利用倍角公式、两角和差的正弦公式、等差数列的定义即可得出．
解答：
解：（1）∵C=2A，∴sinC=sin2A，
∴
=
=2cosA=2×
=
．
∴
=
．
（2）∵cosC=cos2A=2cos2A-1=2×
-1=
，
∴sinC=
=
，
∵cosA=
，∴sinA=
，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
，
∴sinA+sinC=
=2sinB．
即2b=a+c，
∴a，b，c成等差数列．
∴
| sinC |
| sinA |
| 2sinAcosA |
| sinA |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
∴
| c |
| a |
| 3 |
| 2 |
（2）∵cosC=cos2A=2cos2A-1=2×
| 9 |
| 16 |
| 1 |
| 8 |
∴sinC=
| 1-cos2C |
3
| ||
| 8 |
∵cosA=
| 3 |
| 4 |
| ||
| 4 |
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
5
| ||
| 16 |
∴sinA+sinC=
5
| ||
| 8 |
即2b=a+c，
∴a，b，c成等差数列．
点评：本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦定理、等差数列的定义、同角三角函数的基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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