Question

17．如图所示，在△ABC的边AB、AC上分别有点M、N，且AB=3AM，AC=4AN，BN与CM的交点是O，直线AO与BC交于点D．设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow m$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow n$．
（Ⅰ）用$\overrightarrow m$、$\overrightarrow n$表示$\overrightarrow{AO}$；
（Ⅱ）设$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AO}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+（1-x）$\overrightarrow{AN}$=3x$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1-x}{4}$$\overrightarrow{AC}$，由C，O，M三点共线，由共线定理可知：3x+$\frac{1-x}{4}$=1，求得x的值，$\overrightarrow{AO}$=$\frac{3}{11}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{8}{11}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{11}$$\overrightarrow{m}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{n}$；
（Ⅱ）由（1）可知$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AO}$=$\frac{3λ}{11}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{11}$$\overrightarrow{AC}$，B，C，D三点共线，$\frac{3λ}{11}$+$\frac{2λ}{11}$=1，即可求得求λ的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：设$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+（1-x）$\overrightarrow{AN}$，
AB=3AM，AC=4AN，
$\overrightarrow{AO}$=3x$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1-x}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
由C，O，M三点共线，
∴3x+$\frac{1-x}{4}$=1，
∴x=$\frac{3}{11}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{3}{11}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{8}{11}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{11}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{11}$$\overrightarrow{m}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{n}$，
（Ⅱ）由（1）可知：$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AO}$=$\frac{3λ}{11}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{11}$$\overrightarrow{AC}$，
∵B，C，D三点共线，
$\frac{3λ}{11}$+$\frac{2λ}{11}$=1，解得：λ=$\frac{11}{5}$，
λ的值$\frac{11}{5}$．

点评 本题考查向量共线定理，考查向量的运算，考查数形结合思想，属于中档题．