Question

4．设数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+n+1，则通项a_n=（　　）

• A． $\frac{{{n^2}+n+1}}{2}$
• B． $\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$
• C． $\frac{{{n^2}+n+3}}{2}$
• D． $\frac{{{n^2}+n+4}}{2}$

Answer 1

分析 当n≥2时，利用a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）计算可知a_n=$\frac{{n}^{2}+n+4}{2}$（n≥2），进而验证当n=1时是否成立即可．

解答 解：∵a₁=3，a_n+1=a_n+n+1，
∴a_n+1-a_n=n+1，
∴当n≥2时，a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）
=n+（n-1）+…+2
=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
∴a_n=$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$+3=$\frac{{n}^{2}+n+4}{2}$（n≥2），
又∵a₁=3满足上式，
∴a_n=$\frac{{n}^{2}+n+4}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查数列的通项，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．