Question

20．已知圆C的圆心在直线2x-y-7=0上，且与y轴交于A（0，-4），B（0，-2）两点
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（-1，-4）作圆C的切线，切点分别为点A，B，求切线的方程及切线长．

Answer 1

分析 （1）求出圆心与半径，即可求圆C的标准方程；
（2）设过点P（-1，-4）的切线方程为y+4=k（x+1），利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出切线方程，利用勾股定理求出切线长．

解答 解：（1）圆心C在线段AB的垂直平分线y=-3上
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-3}\\{2x-y-7=0}\end{array}}\right.$得圆心C（2，-3）--------------------------------（3分）
所以半径$r=\sqrt{{{（2-0）}^2}+{{（-3+2）}^2}}=\sqrt{5}$
所以圆C的标准方程：（x-2）²+（y+3）²=5--------------------------------（5分）
（2）设过点P（-1，-4）的切线方程为y+4=k（x+1）
即kx-y+k-4=0，有：$\frac{{|{3k-1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{5}$，---------------------------------------------------------------------（8分）
∴2k²-3k-2=0，解得$k=-\frac{1}{2}或k=2$，
∴所求切线的方程为x+2y+9=0或2x-y-2=0----------------------------（12分）
由圆的性质可知：$PA=PB=\sqrt{P{C^2}-{r^2}}=\sqrt{{{（{-1-2}）}^2}+{{（{-4+3}）}^2}-5}=\sqrt{5}$------------------（14分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．