题目内容
设函数
．（1）当k＞0时，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）讨论f（x）的极值点．
【答案】分析：先求导数
，（1）当k＞0时，可得导数恒正，故在定义域上单调递增；
（2）分类讨论，当k＞0时，f′（x）=0在（0，+∞）没有根，f（x）没有极值点；当k＜0时，f′（x）=0在（0，+∞）有唯一根
，由极值的定义可得答案．
解答：解：
…（3分）
（1）当k＞0时，
在（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）
（2）函数的定义域是（0，+∞）．
令
，得（x+1）2=1-k≥（0+1）2=1，所以
当k＞0时，f′（x）=0在（0，+∞）没有根，f（x）没有极值点；
当k＜0时，f′（x）=0在（0，+∞）有唯一根
，
因为在（0，x）上f′（x）＜0，在（x，+∞）上f′（x）＞0，
所以x是f（x）唯一的极小值点．…（12分）
点评：本题为导数和极值的综合应用，涉及分类讨论的思想，属中档题．
，（1）当k＞0时，可得导数恒正，故在定义域上单调递增；（2）分类讨论，当k＞0时，f′（x）=0在（0，+∞）没有根，f（x）没有极值点；当k＜0时，f′（x）=0在（0，+∞）有唯一根
，由极值的定义可得答案．解答：解：
…（3分）（1）当k＞0时，
在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）
（2）函数的定义域是（0，+∞）．
令
，得（x+1）2=1-k≥（0+1）2=1，所以当k＞0时，f′（x）=0在（0，+∞）没有根，f（x）没有极值点；
当k＜0时，f′（x）=0在（0，+∞）有唯一根
，因为在（0，x）上f′（x）＜0，在（x，+∞）上f′（x）＞0，
所以x是f（x）唯一的极小值点．…（12分）
点评：本题为导数和极值的综合应用，涉及分类讨论的思想，属中档题．
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