Question

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；
（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．
解答：解：（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个
则
（Ⅱ）当m=640米时，y=f（x）=640×（+）+1024
f′（x）=640×（-+）=640×
∵f′（2⁶）=0且x＞2⁶时，
f′（x）＞0，f（x）单调递增，
0＜x＜2⁶时，f′（x）＜0，f（x）单调递减
∴f（x）_最小=f（x）_极小=f（2⁶）=8704
∴需新建桥墩个．
点评：考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．